习题 4, § 7

设 E 为复数向量空间，并令 $\mathbf{T}^p_q(E)$ 为 E 上型 $(p, q)$ 的张量的空间（代数，第 III, §5, no. 6 章）。用对称张量的$\mathbf{T}^p_q(E)$由……组成的$H^p_q(E)$子空间表示（即$T^p_q(E)$中$\mathbf{T}\mathbf{S}^p(E)\otimes \mathbf{T}\mathbf{S}^q(E^*)$的属于到像并被缩写$c^i_j$湮灭） $i\in 1, p$ 和 $j\in p+ 1, p+q$（前述）。

a) 证明$H^p_q(\mathbf{C}^n)$在$\mathbf{G}\mathbf{L}(n,\mathbf{C})$下稳定，因此在$\mathbf{S}\mathbf{U}(n,\mathbf{C})$下稳定；用$\tau_q^p$表示$\mathbf{S}\mathbf{U}(n,\mathbf{C})$的表示。 b) 证明$\tau_q^p$是不可约表示，其中最高权（§4练习1的记号）是$p\varpi_1+q\varpi_{n-1}$。

c) $\mathbf{S}\mathbf{U}(3,\mathbf{C})$ 的每个不可约表示都同构于表示 $\tau_q^p$ 之一。

d) 设$(x_i)_{1\leq i\leq n}$为$\mathbf{C}^n, (y_j)_{1\leq j\leq n}$对偶基中的典范基。证明 $H^p_q(\mathbf{C}^n)$ 可以与多项式 $P\in \mathbf{C}[x_1, . . . , x_n, y_1, . . . , y_n]$ 的空间等价，次数 $p$ 在 $x_i$ 和次数中齐次

$q$在$y_i$中，这样$\sum_{i=1}^n\frac{\partial^2P}{\partial x_i\partial y_i}= 0$。