习题 1, § 8

设$G =\mathbf{S}\mathbf{U}(2,\mathbf{C})$，并令$\sigma$为G在$\mathbf{C}^2$上的恒等式表示。 a) G 的不可约表示对于$n\geq 0$ 是表示 $\tau^n=\mathbf{S}^n\sigma$。

b) 令$e_1, e_2$为$\mathbf{C}^2$中的典范基；表明基 $(e^i_1e^{n-i}_2)_{0\leq i\leq n}$ 中 $\tau^n$ 的系数为函数 $\tau_{ij}^n$，使得对于 $g=(-\alpha \beta )\in G$，

我们有 $\tau_{ij}^n(g) =\frac{(-1)^i}{j!}\alpha^{i+j-n}\beta^{j-i}P^n_{ij}(|\alpha |^2)$，还有 $P^n_{ij}(t) =\frac{d^j}{dt^j}[t^{n-i}(1-t)^i]$

（“雅可比多项式”）。

c) 从 b) 中推导出函数 $(n+ 1)^{1/2}(\frac{j!(n-j)!}{i!(n-i)!})^{1/2}\tau_{ij}^n$，对于 $i, j, n$ 整数和 $0\leq i\leq n, 0\leq j\leq n$，形式 $L^2(G)$ 的正交基。

d) 对于$g=(-\alpha \beta )\in G$，输入$\alpha =t^{1/2}e^{i(\varphi-\psi)/2},\beta = (1-t)^{1/2}e^{i(\varphi+\psi)/2}$，

与$0\leq t\leq 1, 0\leq \varphi <2\pi ,-2\pi \leq \psi <2\pi$。证明 G 上的归一化 Haar 测度 $dg$ 等于 $(8\pi^2)^{-1}dtd\varphi d\psi$。

e) 令$\frac{1}{2}\mathbf{Z}$中的$a, b$使得$a-b\in \mathbf{Z}$。从 d) 中推导出多项式 $P^n_{n/2-a,n/2-b}(t)$，对于 $n$ 整数，其奇偶性与 $2a,n\geq$ max(2$a,2b$) 相同，对于测量 $t^{-a-b}(1-t)^{a-b}dt$，形式是$L^2([0,1])$ 的正交基。