习题 5, § 8

a) 令V为实数向量空间，$f$为V、$f$的H核上的非零线性形式。那么，类$C^{\infty}$上的V上的函数$\varphi$在H上消失当且仅当它可以写成$f \varphi '$时，其中$\varphi '$是V上的类$C^{\infty}$的函数。

b) 令V为实数向量空间，$(f_i)_{i\in I}$非零线性形式的有限族，使得$H_i=$Ker$f_i$成对不同。那么，类$C\prod^{\infty}$的V上的函数$\varphi$消失在$H_i$的并上当且仅当它可以写成$\psi_{i\in I}f_i$，其中$\psi$是函数上V 类 $C^{\infty}$。

c) 令 T 为环面、$(\alpha_i)_{i\in I}$ 与 1 不同的 T 的特征标有限族，使得 $K_i=$ Ker $\alpha_i$ 成对不同。那么，类$C\prod^{\infty}$的T上的函数$\varphi$在$K_i$的并上消失当且仅当它可以写成$\psi ._{i\in I}(\alpha_i-1)$，其中$\psi$是类的函数 T 上的$C^{\infty}$（T 上本地争论

并使用$b))$。

d) 利用no. 4的记号，证明映射$b_{\infty}:\mathscr{C}^{\infty}(T)^W\rightarrow \mathscr{C}^{\infty}(T)^{-W}$是双射的。