习题 11, § 9

对于从 $(0,\frac{1}{2}(\times \mathbf{T}^2$ 到 $\mathbf{R}^3$ 的任意整数 $n\geq 1$、定义映射 $\varphi_n$，将 $\varphi_n(r;\alpha , \beta ) = ((n+r$ cos $2\pi \beta )$ cos $2\pi \alpha ,(n+r$ cos $2\pi \beta )$ sin $2\pi \alpha , r$ sin $2\pi \beta )$。放

a) 证明$\varphi_n$到$0,\frac{1}{2}\times \mathbf{T}^2$的限制是同构（类$C^{\omega}$），从$0,\frac{1}{2}\times \mathbf{T}^2$到$T_n$-- $S_n$。

b) 设$f_n: T_n\rightarrow T_n$为映射，重合具有$S_n$的恒等式，并且使得

$r >0$。显示 $T_n$ -- $S_n$ 的 $f_n$ 诱导自同构。

c) 证明 $\mathbf{R}^3$ 上存在实解析流形结构，使得映射 $f_n: T_n\rightarrow \mathbf{R}^3$ 和典范嵌入 $\mathbf{R}^3$ -- $\bigcup_nS_n\rightarrow \mathbf{R}^3$ 是解析的。用X表示这样定义的实解析流形。

d) 对于 $\vartheta \in \mathbf{T}$，用 $R_{\vartheta}$ 表示旋转

$(x, y, z) \rightarrow (x$余弦$2\pi \vartheta -y$正弦$2\pi \vartheta , x$正弦$2\pi \vartheta +y$余弦$2\pi \vartheta , z)$

$\mathbf{R}^3$。证明对于 $\theta \in \mathbf{T}$ 和 $u\in X$，

$\vartheta .u= R_{\vartheta}(u)$ 如果 $u\in X$ -- $\bigcup_nS_n$；

$\vartheta .u= R_{n\vartheta}(u)$ 如果$u\in S_n$ 对于某些整数 $n\geq 1$

定义 X 上$\mathbf{T}$ 的运算的解析律。

e) 证明集合 of 轨道型 of X（对于$d$中定义的$\mathbf{T}$的运算）$)$是无限的。 f) 表明在有限维向量空间中，$\mathbf{T}$ 线性运行，X 不存在与$\mathbf{T}$ 运算兼容的嵌入（使用练习. 9）。