习题 15, § 9

设 G 是在拓扑空间 E 上正确运行的局部紧拓扑群；令 $\rho$ 为 G 在有限维实数向量空间 V 上的表示。用 $dg$ 表示 G 上的右 Haar 测度。

a) 设$\mathscr{P}$为E的子集A的集合，具有以下性质：存在E的开覆盖$(U_{\alpha})_{\alpha\in I}$，使得对于所有$\alpha \in I$，$g\in G$的集合，使得$gA\cap U_{\alpha}\not=\emptyset$在G中相对紧凑。

证明，对于每一个支持属于到$\mathscr{P}$的连续函数$f: E\rightarrow V$，映射$x \rightarrow \int_G\rho (g)^{-1}f(gx)dg$是从E到V的连续映射，与G的运算兼容。

b) 进行以下其中一项假设：

(i) 空间 $E/G$ 是正则；

(ii) 存在 E 的开子集 U 和 G 的紧子集 K，使得 E = GU 且 $gU\cap U =\emptyset$ 对于 $g \notin K$。

证明 E 中的每个点$x$都有邻域属于到$\mathscr{P}$（在情况（i）中，取$A = V\cap W$，其中V是$x$的邻域，使得$gV\cap V =\emptyset$对于$g$在紧凑之外） G 的子集，W 是 $Gx$ 的封闭邻域，在 G 下稳定并包含在 GV 中）。

E 中的每个点在 G 和满足 (ii) 下都有一个开邻域稳定。 c) 假设加法中E是完全正则的。令$x\in E, v\in V$使得$x$的固定器包含在$v$的固定器中。证明存在连续的映射$F : E\rightarrow V$，与G的运算兼容，使得$F(x) =v$。 （令$\mathscr{F}$为E上连续数值函数的空间，其支持度为属于到$\mathscr{P}$，并令$u:\mathscr{F}\rightarrow V$为映射$\alpha \rightarrow \int_G\alpha (gx)\rho (g^{-1}).v dg$。令C为$v$的凸邻域 V；$x$属于到$\mathscr{P}$的构造邻域A，使得$gx\in A$意味着$\rho (g^{-1}).v\in C$，并且函数$\alpha$在E上，在A的支持下，使得$\alpha (x)\not= 0$ 和 $\int_G\alpha (gx)dg= 1$。证明 $u(\alpha )$ 属于到 C 并推导出 $v\in$ Im $u.$）