习题 16, § 9

设G是在分离拓扑空间E上正常运行的拓扑群。设$x$是E中的点，H是G中的固定器，E包含$x$的S子集并且在H下稳定。群H在右侧运行$G\times S$乘公式$(g, s).h= (gh, h^{-1}s)$为$g\in G, h\in H, s\in S$； 映射 $(g, s) \rightarrow gs$ 诱导通过从$(G\times S)/H$到X商映射。如果映射是 X 的开子集的同胚，则称 S 是$x$ 处的截。

a) 证明，如果 G 是离散的，则在 $x$ 处存在一条截线。

b) 设F为G在其上正确运行的分离拓扑空间，并令$f: E\rightarrow F$为连续映射，与G的运算兼容，使得G中$f(x)$的定标等于H。证明，如果S是在$f(x)$的横截，则$f^{-1}(S)$是横向于$x$。

c) 令 N 为规范投影 $G,\pi : E\rightarrow E/N$ 的闭法线子群，T 为$E/N$ 上$G/N$ 运算的$\pi (x)$ 的横截面，以及$S\subset \pi^{-1}(T)$ $x$ 的横截面HN $\pi^{-1}(T)$ 运算。证明 S 是 E 中 $x$ 处的截线（对于 G 的运算）。