习题 2, § 9

令 X 为类 $C^r(1\leq r\leq \infty )$ 的分离流形，无穷大可数，且为维数 $n$ 的纯数。

a) 假设存在 X 的 $\varphi$ 嵌入到有限维向量空间 V 中。 证明$\mathbf{R}^{2n+1}$中存在X的嵌入（如果$V>2n+ 1$暗淡，则证明V存在点$p$，使得对于所有$x\in X$，连接$p$到$\varphi (x)$的直线仅在以下位置满足$\varphi (V)$） 点$\varphi (x)$，并在点处横向满足；推导出X在维数的空间中的嵌入等于暗淡$V-1$）。

b) Show that there exists an embedding of X in $\mathbf{R}^{2n+1}$. (Let $\mathscr{O}$ be the set of open subsets of $X,\mathscr{U}$ the subset of $\mathscr{O}$ consisting of the open sets U such that there exists a morphism $\varphi : X\rightarrow \mathbf{R}^{2n+1}$ whose restriction to U is an embedding; by using $a$), show that $\mathscr{U}$ is a quasi-full subset (General Topology, Chap. IX, §4, Exerc. 27) of $\mathscr{O}$, and hence is equal to $\mathscr{O}.)$

c) 证明$\mathbf{R}^{2n+1}$中存在X的适当嵌入。 （构造通过X上的正确函数将X正确嵌入到$\mathbf{R}^{2n+2}$中。）