习题 3, § 9

令 G 为李群，H 为 G 的紧致子群。假设 G 承认忠实（有限维）线性表示。

a) 令$\Theta_H(G)$为$\mathscr{C}(H;\mathbf{R})$的子代数、限制的由……组成到G上的（连续）代表函数的H。证明对于一致收敛的拓扑，$\Theta_H(G)$在$\mathscr{C}(H;\mathbf{R})$是稠密的。

b) 设 $f\in \Theta_H(G)$。证明在有限维实数向量空间上存在G的表示$\sigma$，使得表示$\sigma |H$的系数不与$f($谱理论正交，正在准备中）。

c) 设 $\rho : H\rightarrow \mathbf{G}\mathbf{L}(V)$ 为 H 在有限维实数向量空间上的表示。证明存在有限维实数向量空间 W、表示 $\sigma : G\rightarrow \mathbf{G}\mathbf{L}(W)$ 和单同态 $u: V\rightarrow W$，使得 $u(\rho (h)v) =\sigma (h)u(v)$ 对应 $h\in H,v\in V$。

（约化对于$\rho$不可约的情况，使用$b$）$.)$