习题 5, § 9

设G为李群，H为G的紧致子群。假设在有限维实数向量空间上存在G的忠实线性表示$\rho : G\rightarrow \mathbf{G}\mathbf{L}(V)$。

a) 证明在有限维实数向量空间 W 上存在 $\mathbf{G}\mathbf{L}(V)$ 的表示 $\sigma$，在 W 中的 V 和向量 $w$ 上存在分离正二次形式 $q$，使得 $\rho (H) =\mathbf{O}(q)\cap F_w$，其中$F_w$是$\mathbf{G}\mathbf{L}(V)$中$w$的固定器（选择是形式$q$在H和$\mathbf{O}(q)$的表示下不变量，使得$\rho (H)$是点的固定器（Cor.2 no. 2)，然后应用Exerc 3 $c$)$)$。

b) 从a)推导出存在有限维实数向量空间 E、G 在 E 上的表示和带有固定器 H 的向量 $e\in E$（取 $E = W\oplus Q$，其中 Q 是 V 上的二次形式的空间，并且$e= (w, q)$）。