习题 7, § 9

令G为李群，H为G的紧致子群，$\rho$为H在实希尔伯特空间W上的酉表示。用X流形$G\times^HW$(no. 3)表示。

a) 证明存在 Hilbert 空间 V、G 在 V 上的酉表示 $\sigma$ 以及（解析）嵌入 $\varphi : X\rightarrow V$，使得 $\varphi (gx) =\sigma (g)\varphi (x)$ 适合 $g\in G,x\in X$（使用练习 4 和练习 6）。

b) 证明，如果 W 是有限维且 G 承认忠实的有限维线性表示，则可以选择V 为有限维（使用练习 3 和练习 5）。