Bourbaki

习题 3, § 2

标签 0AQ1，永久不变。引用为 [Bourbaki, Tag 0AQ1]。

李群与李代数, V

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

令 V 为具有基 e1,…,ele_1, \ldots, e_l 的复希尔伯特空间。对于1≤i≤l1 \leq i \leq l，令sis_i为酉伪反射，有向量eie_i，使得si(ei)=cieis_i(e_i) = c_i e_i，有ci≠1c_i \neq 1； V的元素在sis_i下不变，当且仅当它与eie_i正交。令 W 为由 sis_i 生成的 GL(V)\mathbf{GL}(V) 的子群。

a) 设ii为整数≥1\geq 1。证明 W 下 ⋀iV\bigwedge^i V 不变量的每个元素都是零。 （通过ll上的归纳论证；如果V′V'是由e1,…,el−1e_1, \ldots, e_{l-1}生成的V的子空间，并且如果ee是与V′V'正交的非零向量，则任意元素 ⋀iV\bigwedge^i V可以写成形式a+(b∧e)a + (b \wedge e)，a∈⋀iV′a \in \bigwedge^i V'和b∈⋀i−1V′b \in \bigwedge^{i-1} V'；如果a+(b∧e)a + (b \wedge e)在W下不变，aa和bb在子群W′W'下不变s1,…,sl−1s_1, \ldots, s_{l-1}、归纳假设适用。）

b) 假设 W 是*有限*。通过使用 a) 证明，对于 V 的任意自同态 A，

∑w∈Wdet⁡(A−w)=Card⁡(W)⋅det⁡(A) \sum_{w \in W} \det(A - w) = \operatorname{Card}(W) \cdot \det(A)
∑w∈Wdet⁡(1−Aw)=Card⁡(W). \sum_{w \in W} \det(1 - Aw) = \operatorname{Card}(W).

推出，对于任何A∈End⁡(V)A \in \operatorname{End}(V)，都存在w∈Ww \in W，使得AwAw没有非零固定的点。

c) 设Γ\Gamma为顶点集合为{1,l}\{1, l\}的图，箭头为集合{i,j}\{i, j\}，使得eie_i和eje_j不正交。证明 VV 是一个简单的 WW 模当且仅当 Γ\Gamma 连接且非空。

d) 假设 VV 是一个简单的 WW 模块。证明 WW-模块 ⋀iV\bigwedge^i V (0≤i≤l0 \leq i \leq l) 很简单。 （证明存在整数 jj，使得图Γ−{j}\Gamma - \{j\}是连通的。通过归纳对ll进行论证，并将归纳假设应用于由ei,i≠je_i, i \neq j生成的子空间V′V'。）证明这些模是成对非同构6^6。

解答

尚未写出解答。

被以下引用

无。

引用了

无。

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。