习题 6, § 3

a) 令 K 为 K 上的交换域、有限维 n 的V 向量空间，$\varphi$ V 上的对称双线性形式，以及 $\varphi$ 的 N 核。假设$\dim N = 1$。证明$\varphi$到$\bigwedge^{n-1} V$的扩张核是维数$n-1$。

b) 假设加法中$K = \mathbf{R}$和$\varphi$为正。令$(e_1, \ldots, e_n)$为V中的基，以及$a_{ij} = \varphi(e_i, e_j)$。假设 $a_{ij} \leq 0$ 对应 $i \neq j$。假设 $\{1, 2, \ldots, n\}$ 中不存在划分 $I \cup J$，使得 $a_{ij} = 0$ 适合 $i \in I, j \in J$。令$A_{ij}$为矩阵$(a_{ij})$中$a_{ij}$的辅因子。证明 $A_{ij} > 0$ 对于所有 $i$ 和 $j$。 （令$\zeta_1 e_1 + \cdots + \zeta_n e_n$为向量生成的N，所有坐标均为$> 0$。证明$(A_{ij})$的每一行与列与$(\zeta_1, \ldots, \zeta_n)$成正比。

对于某个常数 $\mu$ 推导出 $A_{ij} = \mu \zeta_i \zeta_j$。通过考虑$A_{ii}$，证明$\mu > 0$。

c) 证明$\zeta_1, \ldots, \zeta_n$ 与$\sqrt{A_{11}}, \ldots, \sqrt{A_{nn}}$ 成比例。