Bourbaki

习题 11, § 4

标签 0ASA，永久不变。引用为 [Bourbaki, Tag 0ASA]。

李群与李代数, V

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

设 H 为 Rn\mathbf{R}^n 由……组成中的子集点 x=(x0,…,xn−1)x = (x_0, \ldots, x_{n-1})，其中形式

B(x)=−x02+x12+⋯+xn−12 B(x) = -x_0^2 + x_1^2 + \cdots + x_{n-1}^2

< 0，并令 PH\mathbf{P}H 为 H 在射影空间 Pn−1(R)\mathbf{P}_{n-1}(\mathbf{R}) 中的像。令 G 为形式 B 的正交群。

a) 证明PH\mathbf{P}H是G的齐次空间，点的稳定剂是紧致的，并且G对PH\mathbf{P}H作用正确。

b) 令 ω\omega 和 Ω\Omega 为由公式定义的 H 上的微分形式

ω=∑i=0n−1(−1)ixidx0∧⋯∧dxi−1∧dxi+1∧⋯∧dxn−1 \omega = \sum_{i=0}^{n-1} (-1)^i x_i dx_0 \wedge \cdots \wedge dx_{i-1} \wedge dx_{i+1} \wedge \cdots \wedge dx_{n-1}
Ω=ω(−B(x))n/2. \Omega = \frac{\omega}{(-B(x))^{n/2}}.

证明 Ω\Omega 是 PH\mathbf{P}H 上的微分形式 Ω~\tilde{\Omega} 的规范投影 π:H→PH\pi : H \to \mathbf{P}H 下的逆像。证明与 Ω~\tilde{\Omega}（可微变种 R，第二个部分）相关的正测度 ν\nu 在 G 下是不变的，并且它是唯一这样的测度，直到标量因子。

c) 设 C 为开单纯锥体，顶点 0 在 Rn\mathbf{R}^n (§ 1, no. 6) 中。假设H中包含C，则用π:H→PH\pi : H \to \mathbf{P}H下C的PC\mathbf{P}C像表示。证明，如果 n≥3n \geq 3，则 ν(PC)<∞\nu(\mathbf{P}C) < \infty (认同 PH\mathbf{P}H 以及 (x1,…,xn−1)(x_1, \ldots, x_{n-1}) 的 Rn−1\mathbf{R}^{n-1} 由……组成的子空间，使得 ∑i=1n−1xi2<1\sum_{i=1}^{n-1} x_i^2 < 1，以及确定的度量相应的为ν\nu关于这个子空间）。证明当且仅当 C‾\overline{C} 包含在 H 中时，PC\mathbf{P}C 在 PH\mathbf{P}H 中相对紧。

解答

尚未写出解答。

被以下引用

引用了

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。