习题 4, § 5

*设$G_1 = \mathbf{SL}_3(\mathbf{F}_2)$。 a) 证明 $G_1$ 是阶 168 的非阿贝尔单形群，包含 21 元素阶 2。 b) 证明 $G_1$ 的不可约复形表示的次数为 1, 3, 3, 6, 7, 8。 c) 设$\rho : G_1 \to \mathbf{GL}_3(\mathbf{C})$为次数3的$G_1$不可约表示$^{10}$。如果$y \in G_1$为阶2，则表明$\mathrm{Tr}(\rho(y)) = -1$。推断 $-\rho(y)$ 是反射。 d) 设 $G$ 为由元素 $-\rho(y)$ 生成的 $\mathbf{GL}_3(\mathbf{C})$ 的子群，对于 $G_1$ 中的阶 2 的$y$。证明 $G$ 与 $G_1 \times \{1, -1\}$ 同构的，因此是阶 336。

$^{10}$ 对此类表示的详细研究可以在 H. WEBER, Lehrbuch der 代数, Bd. 中找到。 II，抽象。 15.

e) 证明$G$的对称不变量的代数的特征次数$k_1, k_2, k_3$等于4、6和14。（使用关系$\prod_i k_i = 336$和$\sum_i (k_i - 1) = 21.$）

f) 显示 $G$ 不是 Coxeter 群。*