习题 5, § 5

*令$K$为域，$S = K[X_1, \ldots, X_n]$为$K$上的分级多项式代数，由代数独立的元素$X_i$生成，次数$> 0$齐次。

a) 令$Y_1, \ldots, Y_n$为次数$> 0$的$S$的齐次元素，并令$R = K[Y_1, \ldots, Y_n]$为由这些元素生成的$S$的子代数。证明等价以下性质：

(i) $(Y_1, \ldots, Y_n)$ 是$S$-常规序列。

(ii) $S$ 是$R$ 的积分。

(iii) 由$Y_1, \ldots, Y_n$生成的$S$的理想值是$S$中的有限余维。

(iv) 对于$K$的任何扩张$\overline{K}$，方程$Y_i(x_1, \ldots, x_n) = 0$($1 \leq i \leq n, x_i \in \overline{K}$)的系统只有平凡的解$(0, \ldots, 0)$。

((i) $\Longleftrightarrow$ (iii)) 源自Macaulay 的定理 (交换代数)； (iii) $\Longleftrightarrow$ (iv) 源自零定理（*交换代数*，第 V, §3, no. 3 章，第 2 条）； (ii) $\Longleftrightarrow$ (iii) 很容易。）

如果满足这些属性，则表明 $Y_i$ 在代数上独立于 $K$，并且 $S$ 是秩的自由 $R$ 模，等于

b) 令$G$为分级后的代数$S$的自同构有限群，令$S^G$为其不变量子代数，令$Y_1, \ldots, Y_n$为$S^G$的元素满足条件 (i),..., (iv) 如上所述。证明 $S^G = K[Y_1, \ldots, Y_n]$ 当且仅当