习题 6, § 5

*设$n$为质数数、$K = \mathbf{F}_q$、$V = K^n$、$G = \mathbf{GL}(n, K)$和$G_1 = \mathbf{SL}(n, K)$的整数$\geq 1$、$q$幂。 认同$G$与群$\mathbf{GL}(V)$。 此外，用$S$、代数$S(V) = K[X_1, \ldots, X_n]$和$R$（分别$R_1$）子代数、$S$、由……组成、元素在$G$（分别$G_1$）不变。

a) 设$e = (e_1, \ldots, e_n)$为整数$\geq 0$中的序列。放

这是 S 的元素。 表明 （注，如果$g.X_i = \sum_j a_{ij} X_j$，则$g.X_i^{q^e} = \sum_j a_{ij} X_j^{q^{e_j}}$。）特别是$L_e$属于至$R_1$。

b) 设 $j \in [1, n]$。放

K. 元素乘积超过所有家庭$(a_{ij})_{j < i \leq n}$。 让 证明 T 除所有 $L_e$。推导出 $T = L_{e_n}$，其中 $e_n = (0, 1, \ldots, n-1)$，并且 T 在 $G_1$ 下不变。

c) 用$e_i$ ($1 \leq i \leq n-1$) 序列 $(0, 1, \ldots, i-1, i+1, \ldots, n)$ 表示，并放入$Y_i = L_{e_i}/T$、cf. b)。证明 $Y_i$ 属于到 R 以及 $\deg(Y_i) = q^n - q^i$。

d) 设$S' = K[X_1, \ldots, X_{n-1}]$，并令$T', Y'_1, \ldots, Y'_{n-2}$为$S'$的元素，其定义方式与T、$Y_1, \ldots, Y_{n-1}$相同（但替换 n乘以$n-1$）。令 $f : S \to S'$ 为同态定义为

表明

e) 表明该族$(T, Y_1, \ldots, Y_{n-1})$满足Exerc的条件(iv)。 5.（令K的扩张$\overline{K}$中的$x = (x_1, \ldots, x_n)$为系统$(T, Y_1, \ldots, Y_{n-1})$的零。由于$x$是T的零，因此$x_i$满足至少一个非平凡线性关系，系数为 K。如有必要，将 $x$ 转换为 $G_1$ 的元素，我们可以假设 $x_n = 0$。结论应用 d) 并通过归纳对 $n$ 进行论证。）

f) 证明 $R_1 = K[T, Y_1, \ldots, Y_{n-1}]$ 和 $T, Y_1, \ldots, Y_{n-1}$ 是代数独立的（“Dickson 定理” – 应用 e）和 Exerc。 5、注意$G_1$的阶等于$\deg(T) = \sum_i \deg(Y_i)$）。

g) 表明 $R = K[T^{q-1}, Y_1, \ldots, Y_{n-1}]$*