习题 21, § 1

令$R$为根系，且$B$为$R$的基。设$\alpha, \beta \in B$和$w \in W(R)$使得$\beta = w(\alpha)$。证明存在 $R$ 元素序列 $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ 和 $W(R)$ 元素序列 $w_1, \ldots, w_{n-1}$ 使得

（一）$\alpha_1 = \alpha, \quad \alpha_n = \beta$。

(ii) $w = w_{n-1} \ldots w_1$。

(iii) $w_i(\alpha_i) = \alpha_{i+1}$ 为 $1 \leq i \leq n-1$。

(iv) 对于所有$i \in \{1, n-1\}$，存在$\beta_i \in B$，使得由反射$s_{\alpha_i}$和$s_{\beta_i}$产生的$W(R)$的$w_i$属于到子群。