习题 23, § 1

令$R$为约化根系，令$X$为$P(R)$的子集。如果满足以下条件，则称$X$ 饱和：

(S) 对于所有$p \in X, \alpha \in R$和$i \in \mathbf{Z}$，使得$i$在0和$\langle p, \alpha^\vee \rangle$之间，$p - i \alpha \in X$。

a) 证明每个饱和子集在 $R$ 的 Weyl 群 $W$ 下都是稳定的。

b) 证明，对于$P(R)$的任何子集$A$，存在$P(R)$包含于$A$的最小的饱和子集$S(A)$。

c) 令$C$为$R$的一个室，并让$p \in P(R) \cap \overline{C}$为权的主室。令 $S(p)$ 为最小的饱和子集的 $P(R)$ 包含于 $p$。令 $\Sigma(p)$ 为元素 $p' \in P(R)$ 中的集合，使得

（一）$p \equiv p' \mod Q(R)$。

(ii) 对于所有$w \in W$、$w(p') \leq w$（相对于$C$定义的序关系）。

证明 $\Sigma(p)$ 是有限的，包含于 $p$，并且是饱和的。 结论 $S(p)$ 包含在$\Sigma(p)$ 中。

d) 证明，如果$\alpha$是$R$中最长的元素，则$S(\alpha) = R \cup \{0\}$。