习题 4, § 1

令$\Gamma$为有限秩l的自由$\mathbf{Z}$模，$\Gamma^*$对偶$\mathbf{Z}$模，I为指标的有限集合，$(x_i, x_i^*)_{i \in I}$为$\Gamma \times \Gamma^*$的元素族，使得$\langle x_i, x_i^* \rangle = 2$ 适用于所有 $i \in I$、$s_i = s_{x_i, x_i^*}$。 设V为实数向量空间$\Gamma \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{R}$，其对偶$V^*$可与$\Gamma^* \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{R}$等同。 我们还用$s_i$表示V中的反射$s_i \otimes 1$。 设 R（分别为 $R'$）为 $x_i$（分别为 $x_i^*$）的集合。 令 E（分别$E'$）为由 R（分别$R'$）生成的V（分别$V^*$）的子空间。 假设对于所有 i 来说$s_i(R) = R$。 那么，R 是 E 中的根系。对于所有 i，$E'$ 规范地等同于 E 和 $x_i^*$ 的对偶，其中$x_i^-$。 If F (resp. $F'$) is the subspace of V (resp. $V^*$) consisting of the points invariant under all the $s_i$ (resp. ${}^t s_i$), then $\Gamma \cap F$ (resp. $\Gamma^* \cap F'$) generates F (resp. $F'$). 如果我们放置$\Gamma_1 = (\Gamma \cap E) \oplus (\Gamma \cap F)$（分别为$\Gamma_1^* = (\Gamma^* \cap E') \oplus (\Gamma^* \cap F')$），则$\Gamma / \Gamma_1$和$\Gamma^* / \Gamma_1^*$同构有限群。