Bourbaki

习题 6, § 4

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李群与李代数, VI

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

令 RR 为 RR、p1α1+⋯+plαlp_1 \alpha_1 + \cdots + p_l \alpha_l 最高根、a1α1+⋯+alαla_1 \alpha_1 + \cdots + a_l \alpha_l 和的不可约约化根系、(α1,…,αl)(\alpha_1, \ldots, \alpha_l) 基的正根、m1,…,mlm_1, \ldots, m_l W(R)W(R)、gg其阶、ff连接指标的指数。

a) 验证在每种情况下，

l!p1p2⋯plm1m2⋯ml=a1a2⋯al. l! p_1 p_2 \cdots p_l m_1 m_2 \cdots m_l = a_1 a_2 \cdots a_l.

b) 表明

gm1m2⋯ml=fa1a2⋯al. g m_1 m_2 \cdots m_l = f a_1 a_2 \cdots a_l.

（使用aa和§2§ 2、no. 4的第7条建议。）

c) 对于任何正的根α=∑iciφi\alpha = \sum_i c_i \varphi_i，设e(α)=∑icie(\alpha) = \sum_i c_i。 计算在每种情况下的多项式

P(t)=∑α>0te(α). P(t) = \sum_{\alpha > 0} t^{e(\alpha)}.

验证5^5P(t)=t∑i=1l(1+t+⋯+tmi−1)P(t) = t \sum_{i=1}^l (1 + t + \cdots + t^{m_i-1})。

5^5 对于不使用分类的证明，请参阅：B. KOSTANT，主要三维子群和复杂简单李群的 Betti 数，Amer。数学杂志，卷。 LXXXI（1959），p. 973-1032。

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