习题 11, § 1

令 $\mathfrak{h}$ 为幂零李代数，V $\mathfrak{h}$ 模不减至 0，并且 $\lambda$ 函数在 $\mathfrak{h}$ 上，使得 $V = V^{\lambda}(\mathfrak{h})$。证明等价以下性质：

(i) $\lambda$ 是$\mathfrak{h}$ 上的线性形式，$[\mathfrak{h},\mathfrak{h}]$ 上是零。

(ii) 存在V的基，相对于$\mathfrak{h}$的元素定义的自同态是三角形。

（为了证明 (i) $=\Rightarrow$ (ii)，将恩格尔的定理应用于$\mathfrak{h}$-模$\mathscr{L}(W_{\lambda},V)$，其中W是由$\lambda .$定义的一维$\mathfrak{h}$-模）

如果 $k$ 的特征为 0，则属性 (i) 和 (ii) 为真（命题 9）。