习题 5, § 1

假设$k$是无限的。令 $\mathfrak{g}$ 为李代数且 V 为 $\mathfrak{g}$ 模块。如果 $n$ 是整数 $\geq 0$，则用 $v\in V$ 的 $V_n$ 集合表示，使得 $x^nv= 0$ 对于所有 $x\in \mathfrak{g}$。

a) 证明，如果 $v\in V_n,x, y\in \mathfrak{g}$，那么

（使用$(x+ty)^nv= 0$代表所有$t\in k.$）

替换$y$通过$[x, y]$在这个公式中，推出$^3$即$(x^ny-yx^n)v= 0$，从而推出$x^nyv= 0$。

b) 证明$V_n$是V的$\mathfrak{g}$子模块（使用$a$）$)$。特别是$V^0(\mathfrak{g}) =\bigcup_nV_n$是V的$\mathfrak{g}$子模块。

c) 假设$k=\mathbf{R}$或$\mathbf{C}$，并用G表示与李代数$\mathfrak{g}$单连通的李群； V定义作用$\mathfrak{g}$定义律运算V（第III, §6, no. 1章）。证明元素$v\in V$属于到$V_n$当且仅当$(s-1)^nv= 0$对于所有$s\in G$；特别是$V^0(\mathfrak{g}) = V^1(G)$。