习题 8, § 1

假设$k$具有特征$p >0$。令 $\mathfrak{g}$ 为李代数超过 $k$，且基 $(e_1, . . . , e_n)$。用 U 表示 $\mathfrak{g}$ 的包络代数和 U 的 C 中心。对于 $i= 1, . . . , n$，选择次数 $d_i$ 的非零 $p$ 多项式 $f_i$，使得$f_i$（广告$e_i$）$= 0$；然后是$f_i(e_i)\in C$、cf.。 I, §7，锻炼。 5.放入$z_i=f_i(e_i)$。

a) 证明 $z_1, . . . , z_n$ 是代数独立的。如果 $A =k[z_1, . . . , z_n]$，则证明 U 是自由A-模，其中基是单项式 $e^{\alpha_1}_1. . . e^{\alpha_n}_n$，其中 $0\leq \alpha_i\leq d_i$。 （使用 Poincaré-Birkhoff-Witt 定理。）秩 [U : A] U 除以 A 等于 $d_1. . . d_n$；是$p$中的幂。推断 C 是有限型的 A-模，因此是有限型和维数 $n$ 的 $k$ 代数（交换代数，第 VIII 章）。

b) 设 K 为 A 的分数的域，并令

然后$U_{(K)}\supset C_{(K)}\supset K$。证明 $U_{(K)}$ 是域与中心 $C_{(K)}$，这是 U 的商域（左右），cf. I, §2，锻炼。 10. 推导出$[U_{(K)}: C_{(K)}]$是$q^2$的，其中$q$是$p$的幂；我们有$[C_{(K)}: K] =q_C$，其中$q_C$是$p$的幂，以及$[U : A] =q_Cq^2$。

c) 令$d$为A的非零元素，并令$\Lambda$为$U_{(K)}$的子环，使得$U\subset \Lambda \subset d^{-1}U$。显示$\Lambda = U$。 [如果$x=b/a,a\in A$ -- $\{0\}$，是$\Lambda$的元素，则通过归纳在$m$上显示关系$b\in Ua+ U_m$意味着$b\in Ua+ U_{m-1}$，其中$\{U_m\}$是U的规范过滤。 （为此，请使用 gr U 是全闭的事实，并按照交换代数第 15 条，第V, §1, no. 4章进行论证。）对于 $m= 0$，这给出 $b\in Ua$，即 $x\in U.]$

推论C是全闭的。

d) 假设 $k$ 是代数闭的。设$\rho :\mathfrak{g}\rightarrow \mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)$为$\mathfrak{g}$和$\rho_U$相应的表示的不可约线性表示，$\rho_U$到C的限制是同态$\gamma_{\rho}$ C至$k$（与V的同位词识别）；令 $\alpha_{\rho}$ 为其到 A 的限制。证明对于从 $k$ 代数 A（分别为 C）到 $k$ 的任何同态 $\alpha$（分别为 $\gamma$ ），至少存在一个不可约表示 $\mathfrak{g}$的$\rho$使得$\alpha_{\rho}=\alpha$（或$\gamma_{\rho}=\gamma$）并且只有有限多个这样的表示（最多等价）。显示暗淡 $V\leq q$，其中记号为 $b).^5$

$^4$ 欲了解更多详细信息，cf. J. DIXMIER，Cohomologie des algèbres de Lie nilpotes，

科学学报。数学。塞格德，卷。 XVI（1955），第 246-250 页。

$^5$ 欲知更多详情，cf. H. ZASSENHAUS, 李代数表示

主要特征，Proc。格拉斯哥数学。副教授，卷。 II (1954)，第 1-36 页。