习题 13, § 2

假设 $k$ 是有限的。用 $k'$ 表示 $k$ 的无限扩张。令 $\mathfrak{g}$ 为李代数超过 $k$。 $\mathfrak{g}$的秩，记为rk($\mathfrak{g}$)，是$k'$-李代数$\mathfrak{g}'=\mathfrak{g}\otimes_kk'$的秩；如果$\mathfrak{g}$中的元素在$\mathfrak{g}'$中是正则，则称其是正则；这些定义不依赖于$k'$的选择。表明，如果

卡($k$)$\geq$暗淡$\mathfrak{g}-$rk($\mathfrak{g}$),

$\mathfrak{g}$ 包含正则元素（因此也是嘉当子代数）。

（使用以下结果：如果$a$是$k[X_1, . . . ,X_n]$的非零齐次元素，并且如果Card($k$)$\geq$deg($a$)，则存在$x\in k^n$使得$a(x)\not= 0.$）