习题 16, § 2

Let $\mathfrak{g}$ be a solvable complex Lie algebra, $\mathfrak{h}$ a Cartan subalgebra of $\mathfrak{g}$, $\mathfrak{g}=\bigoplus\mathfrak{g}^{\lambda}(\mathfrak{h})$ the corresponding decomposition of $\mathfrak{g}$ into primary subspaces, with $\mathfrak{g}^0(\mathfrak{h}) =\mathfrak{h}$.

a) 证明第 1 章中线性形式的限制到$\mathfrak{h}$ 称为$\mathfrak{g}$ 的根。 III, §9，锻炼。 $17c)$是$\mathfrak{g}$中$\mathfrak{h}$的权，即$\lambda$使得$\mathfrak{g}^{\lambda}(\mathfrak{h})\not= 0$；推断这样的$\lambda$在$\mathfrak{h}\cap \mathscr{D}\mathfrak{g}$上消失。

b) 令$(x, y) \rightarrow [x, y]'$是交错的双线性映射，从$\mathfrak{g}\times \mathfrak{g}$到$\mathfrak{g}$，具有以下性质：

(i) 如果$x\in \mathfrak{g}^{\lambda}(\mathfrak{h}), y\in \mathfrak{g}^\mu(\mathfrak{h})$，且$\lambda \not= 0, \mu\not= 0$，则$[x, y]'= [x, y]$；

(ii) 如果$x\in \mathfrak{g}^0(\mathfrak{h}), y\in \mathfrak{g}^\mu(\mathfrak{h})$，则$[x, y]'= [x, y]-\mu(x)y$。

证明这在 $\mathfrak{g}$ 上给出了新的李代数结构（使用 $a$）$)$。用$\mathfrak{g}'$表示。

c) 证明，如果 $x\in \mathfrak{g}^{\lambda}(\mathfrak{h})$，映射 ad$'x:y \rightarrow [x, y]'$ 是幂零的。推出$\mathfrak{g}'$是幂零的（应用第I, §4章的练习11到ad$'x$的集合E，其中$x$属于到$\mathfrak{g}^{\lambda}(\mathfrak{h})$的并）。