习题 8, § 2

假设$k$具有特征$p >0$。用 $\mathfrak{s}$ 李代数和基 $\{x, y\}$ 表示，使得 $[x, y] =y$。令 V 为具有基 $\{e_i\}_{i\in\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}}$ 的 $k$ 向量空间。 a) 表明V具有独特的$\mathfrak{s}$模块结构，使得$xe_i=ie_i$和$ye_i=e_{i+1}$适用于所有$i$。这个$\mathfrak{s}$模块很简单。

b) 设$\mathfrak{g}=\mathfrak{s}\times V$为$\mathfrak{s}$乘V的半直接乘积。证明 $\mathfrak{g}$ 是秩 1 的可解代数，其导出的代数不是幂零的。

c) $\mathfrak{g}$ 的元素是正则当且仅当其 $\mathfrak{s}$ 上的投影是形式 $ax+by$，且有 $ab\not= 0$。

d) 我们有 $V^0(x+y) = 0$ 和 $V^0(x) =ke_0$。推出(cf.练习6)$\mathfrak{g}$有维数1的嘉当子代数(对于由$x+y$生成的例)和维数2的嘉当子代数(对于由例生成的嘉当子代数) $x$ 和 $e_0$）。