习题 10, § 3

令$\mathfrak{g}$为李代数，$\mathfrak{r}$其根式，$\mathfrak{n}$其最大的幂零理想，$\mathfrak{a}$其列维子代数之一。

a) 输入$\mathfrak{g}'=\mathfrak{n}+\mathscr{D}\mathfrak{g}$。证明$\mathfrak{g}'=\mathfrak{n}\oplus \mathfrak{a}$。 （使用$[\mathfrak{g},\mathfrak{r}]$包含在$\mathfrak{n}.$中的事实）如果$\mathfrak{g}\not= 0$，则$\mathfrak{g}'\not= 0$。

b) 假设 $k$ 是代数闭的。令 $(V_i)_{i\in I}$ 为 $\mathfrak{g}$-模$\mathfrak{g}$（带有伴随表示）的 Jordan-Hölder 序列的商。如果$x\in \mathfrak{r}$，则证明$x_{V_i}$是位似，并且对于所有$i$，$x_{V_i}= 0$当且仅当$x$属于到$\mathfrak{n}$。当且仅当对于所有 $i\in I$ Tr($y_{V_i}$) $= 0$ 时，推导出元素 $y\in \mathfrak{g}$ 属于到 $\mathfrak{g}'$。

c) 用由元素 $x$ 生成的 $\mathfrak{g}$ 的 N 向量子空间表示，使得 ad $x$ 幂零的。证明 N 是 $\mathfrak{g}$ 的子代数（利用 N 在 Aut$_e(\mathfrak{g})$ 下稳定的事实）。使用 b) 显示 $N\subset \mathfrak{g}'$。

d) 设$\mathfrak{h}$为$\mathfrak{g}$中的嘉当子代数。假设存在 $\mathfrak{h}^*$ 的子集 R 使得

假设是满足的，特别是如果 $k$ 是代数封闭的。证明 N 则包含 $\mathfrak{g}^{\alpha}(\mathfrak{h}),\mathscr{D}\mathfrak{h}$ 和 $\mathfrak{n}$；推导出 N 包含于 $\mathfrak{g}'$，因此 $N =\mathfrak{g}'$。

e) 如果 $k$ 是代数闭集且 $\mathfrak{g}\not= 0,\mathfrak{g}$ 包含元素 $x\not= 0$ 使得 ad $x$ 幂零的。 （事实上​​，我们有 $\mathfrak{g}'\not= 0.$）