习题 12, § 3

a) 令$\mathfrak{g}$为可解李代数，G为Aut($\mathfrak{g}$)的有限子群（如果$k=\mathbf{R}$或$\mathbf{C}$则为紧凑子群）。证明 G 下存在 $\mathfrak{g}$ 的嘉当子代数稳定。（通过 $\mathfrak{g}$ 上的归纳论证，以及约化到

$^7$ 欲了解更多详情，cf. J. DIXMIER，Sous-algèbres de Cartan et décompositions de Levi dans les algèbres de Lie，Trans。皇家社会学会。加拿大，卷。 L (1956)，第 17-21 页。在这种情况下，$\mathfrak{g}$是幂零代数$\mathfrak{g}/\mathfrak{n}$的扩张，通过交换理想$\mathfrak{n}$是一个非平凡的简单$\mathfrak{g}/\mathfrak{n}$模（Th.3的cf.证明）。 $\mathfrak{g}$的嘉当子代数，然后形式一个仿射空间附加到$\mathfrak{n}$，G在其上进行运算。 结论通过与重心的争论。）

b) 令$\mathfrak{g}$为可解李代数且$\mathfrak{s}$为Der($\mathfrak{g}$)的谎言子代数。假设$\mathfrak{s}$-模块$\mathfrak{g}$是半单。证明在$\mathfrak{s}$下存在$\mathfrak{g}$稳定的嘉当子代数。 （同样方法。）