习题 13, § 3

设 $\mathfrak{g}$ 为李代数，G 为 Aut($\mathfrak{g}$) 的有限子群。假设 G 是超可解的（代数，第 I, §6，练习 26）。证明G下存在$\mathfrak{g}$稳定的嘉当子代数。

（在昏暗$\mathfrak{g}$上通过归纳论证。使用练习12，约化到$\mathfrak{g}$是半单的情况。如果$G\not=\{1\}$，选择G的正常子群C是素数循环阶（代数，前述）。元素不变量在C 中的子代数 $\mathfrak{s}$ 由……组成在$\mathfrak{g}($§1, no. 5 中被还原），并且与 $\mathfrak{g}$ 不同。到归纳假设，$\mathfrak{s}$在G下已经稳定嘉当子代数$\mathfrak{a}$。我们有$\mathfrak{s}\not= 0$（第I, §4章，练习$21c$）），所以$\mathfrak{a}\not= 0$。 $\mathfrak{g}$中$\mathfrak{a}$的交换子$\mathfrak{z}$与$\mathfrak{g}$不同，并且在G下稳定； $\mathfrak{z}$的选择嘉当子代数$\mathfrak{h}$在G下稳定，并表明$\mathfrak{h}$是$\mathfrak{g}$、cf.的嘉当子代数。符合提案 3。）

$\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2,\mathbf{C})$的自同构的构造有限群与$\mathfrak{A}_4$同构（因此可解）并且不会留下任何嘉当子代数稳定。