习题 16, § 3

令V为有限维$k$向量空间，且$\mathfrak{g}$为$\mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)$的谎言子代数。我们将证明以下三个属性是等价的： (i) $\mathfrak{g}$ 的嘉当子代数是可交换的，并且由半单元素组成。

(ii) $\mathfrak{g}$ 中的每个正则元素都是半单。

(iii) $\mathfrak{g}$ 中的半单元素在 Zariski 拓扑的$\mathfrak{g}$ 中密集。 a) 证明 (i) $=\Rightarrow$ (ii) $=\Rightarrow$ (iii)。

b) 设 A 为半单元素 $\mathfrak{g}$ 中的集合。证明 A 在 Aut$_e(\mathfrak{g})$ 下是稳定的。 c) 表明 (iii) $=\Rightarrow$ (i)。 (约化 (App. I，练习 1) 到$k$ 是代数闭的情况。如果 $\mathfrak{h}$ 是 $\mathfrak{g}$ 的嘉当子代数，则使用练习 15 证明 $A\cap \mathfrak{h}$ 在 $\mathfrak{h}$ 中是稠密的；因为$[x, y] = 0$ 如果 $x\in A\cap \mathfrak{h}, y\in \mathfrak{h}$，则推导出 $\mathfrak{h}$ 是可交换的，由此 (i) 是直接的。）

d) 假设 $k$ 为 $\mathbf{R},\mathbf{C}$ 或特征零的非离散完全超度量域。给出由 $k$ 定义的 $\mathfrak{g}$ 拓扑。证明性质 (i)、(ii)、(iii) 等价于以下：

(iv) $\mathfrak{g}$中的半单元素在$\mathfrak{g}$中密集。

（证明 (iv) $=\Rightarrow$ (iii) 和 (ii) $=\Rightarrow$ (iv)、cf. 应用 I，练习 4。）