习题 18, § 3

令$\mathfrak{g}$为$\mathfrak{g}$的李代数、$\mathfrak{h}$嘉当子代数以及$U\mathfrak{g}$（或$U\mathfrak{h}$）$\mathfrak{g}$（或$\mathfrak{h}$）的包络代数。 $U\mathfrak{g}$上的线性形式$\varphi$如果在$[U\mathfrak{g},U\mathfrak{g}]$上消失，即如果$\varphi (a.b) =\varphi (b.a)$对于所有$a, b\in U\mathfrak{g}$来说是中心的。

a) 设 $x, y\in \mathfrak{g}$。假设存在$s\in$Aut$_e(\mathfrak{g})$使得$s(x) =y$。表明

适用于所有 $n\in \mathbf{N}$ 以及 $U\mathfrak{g}$ 上的每个中心线性形式 $\varphi$。

b) 设$\varphi$为$U\mathfrak{g}$上的中心线性形式，其限制到$U\mathfrak{h}$消失。显示$\varphi = 0$。 （我们可以假设 $k$ 是代数闭的。从 $a$ 推导出来）对于所有 $n\in \mathbf{N}$ 和所有常规 $x\in \mathfrak{g}$，我们有 $\varphi (x^n) = 0$；使用密度参数来删除假设的正则性。）

c) 显示$U\mathfrak{g}= [U\mathfrak{g},U\mathfrak{g}] + U\mathfrak{h}$。

d) 设V为半单$\mathfrak{g}$-模。证明 V 是半单作为 $\mathfrak{h}$ 模块。特别是，$V^{\lambda}(\mathfrak{h}) = V_{\lambda}(\mathfrak{h})$适用于所有$\lambda \in \mathfrak{h}^*$。

e) 设$V'$为半单$\mathfrak{g}$-模。假设 V 和 $V'$ 与 $\mathfrak{h}$ 模块同构。证明它们与 $\mathfrak{g}$ 模块同构。 （如果 $a\in U\mathfrak{h}$、注则 Tr($a_V$) $=$ Tr($a_{V'}$)。通过使用 $b$) 或 c) 推导出 Tr($x_V$) $=$ Tr($x_{V'}$) 对于所有$x\in U\mathfrak{g}$和结论通过使用代数，第1章。 VIII。）

如果$k$是代数闭的，假设“VandV$'$是$\mathfrak{h}$同构的”等价于说对于所有$\lambda \in \mathfrak{h}^*$来说暗淡$V_{\lambda}(\mathfrak{h}) =$暗淡$V'_{\lambda}(\mathfrak{h})$。