习题 9, § 3

令$\mathfrak{g}$为李代数，$\mathfrak{g}$的$\mathfrak{h}$嘉当子代数以及$\mathfrak{h}$的$x$元素。令$\mathfrak{g}=\mathfrak{h}\oplus \mathfrak{g}^+$为$\mathfrak{g}$相对于$\mathfrak{h}$的Fitting 分解(§1, no. 1)。 a) 令$\mathfrak{n}$为最大的半单$\mathfrak{h}$-包含在$\mathfrak{g}^0(x)\cap \mathfrak{g}^+$中的子模块。证明$\mathfrak{n}= 0$当且仅当$\mathfrak{g}^0(x) =\mathfrak{h}$，即$x$在$\mathfrak{g}$中是正则。

b) 证明$\mathfrak{h}\oplus \mathfrak{n}$ 是$\mathfrak{g}$ 的子代数。如果$\mathfrak{h}'$是$\mathfrak{h}$的交与$\mathfrak{n}$的交换子，则证明$\mathfrak{h}'$是$\mathfrak{h}\oplus \mathfrak{n}$的理想，其中包含$\mathscr{D}\mathfrak{h}$和$x$。 结论（练习8）$\mathfrak{h}'\subset \mathscr{C}_{\infty}(\mathfrak{h}\oplus \mathfrak{n})$，因此$x\in \mathscr{C}_{\infty}(\mathfrak{h}\oplus \mathfrak{n})$和$x$属于到$\mathfrak{h}\oplus \mathfrak{n}$的每个嘉当子代数。

c) 如果$\mathfrak{n}\not= 0,\mathfrak{h}\oplus \mathfrak{n}$不是幂零的并且有无穷多嘉当子代数（§2，练习10）。 结论即$x$属于到$\mathfrak{g}$的无穷多嘉当子代数。

d) $\mathfrak{g}$ 的元素是规则的当且仅当它属于为唯一的嘉当子代数。