习题 4, § 4

假设 $k=\mathbf{C}$ 和 G 是连通的。证明等价以下性质：

(i) G is nilpotent.

(ii) G 中的每个元素 $\not= 1$ 都是正则的。

（首先证明 (ii) 意味着

(ii)$'$ Every 元素 $\not= 0$ of $\mathfrak{g}$ is regular.

注 next that, if $\mathfrak{g}\not= 0$, then $\mathfrak{g}$ 包含元素 $x\not= 0$ such that ad $x$ is nilpotent, cf. §3, Exerc. 10. Deduce that $\mathfrak{g}$ is nilpotent, hence (i).)