习题 9, § 5

设$\mathfrak{g}$是$\mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)$的谎言子代数。证明 Exerc 的条件 (i), (ii), (iii)。 §3中的16相当于：

(v) $\mathfrak{g}$ 可分解，并且与 $\mathfrak{g}/\mathfrak{n}_V(\mathfrak{g})$ 具有相同的秩。

（如果$\mathfrak{h}$是$\mathfrak{g}$的嘉当子代数，则条件“$\mathfrak{g}$与$\mathfrak{g}/\mathfrak{n}_V(\mathfrak{g}$具有相同的秩）”相当于说与$\mathfrak{h}\cap \mathfrak{n}_V(\mathfrak{g}) = 0$，即$\mathfrak{h}$没有幂零元 $\not= 0$（cf.§2，练习 14）。推导出 (i) 和 (v) 的等价。）