习题 10, § 1

令$m$为整数$>0$，$\mathbf{S}$分级代数$k[X_1,\ldots,X_m]$，以及$k^*$的$a_1,\ldots,a_m$元素。令$\Phi=\displaystyle\sum_{i,j=1}^{m}a_{ij}X_iX_j$为二次形式；把

其中$(b_{ij})$是$(a_{ij})$的逆矩阵。 a) 如果$f$是次数$n$齐次，证明$\mathbf{S}$上存在唯一的$\mathfrak{s}$模结构，使得$X_+f=$$\frac{1}{2}D(f), X_-f=\frac{1}{2}\Phi f$和$Hf=-(m/2 +n)f$。 b) 输入 $A^n=\mathbf{S}^n\cap$ Ker(D)。证明对于 $2p+q=n$，$\mathbf{S}^n$ 是子空间 $\Phi^p.A^q$ 的直和。推断身份

$\sum_{n=0}^{\infty}$ 暗淡（A$^n$）$T^n= (1 + T)/(1-T)^{m-1}$。

c) 如果$f$是$A^n$的非零元素，则$\mathbf{S}$的简单$\mathfrak{s}$子模的$\Phi^pf,p\geq 0$、形式基，同构于模$Z(-\frac{m}{2}-n)$锻炼。 2.

d) 使情况$m= 1$和$m= 2$明确。使用案例$m= 3$恢复Exerc的结果。 9.