习题 12, § 1

令$q\in k$，并令W为向量空间且基$(e_0, e_1, e_2, . . .)$。

a) 证明 W 上存在唯一的表示 $\rho_q$ $\mathfrak{s}$，使得

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我们有$\rho_q(C) = 4q$，其中$C =H^2+ 2H-4X_-X_+$（cf.练习1）。 表示$\rho_q$很简单。 元素$x\in \mathfrak{s}$使得$\rho_q(x)$承认特征值是$X_+$的倍数。 自同态 $\rho_q(X_+)$ 承认 1 为特征值，重数 1。

b) 令$\rho$为$\mathfrak{s}$的简单表示，使得$\rho (C) = 4q$且$\rho (X_+)$有1作为特征值。证明 $\rho$ 等价于 $\rho_q$。