习题 14, § 1

记号是前面的习题的那些。 $B_q$ 表示 $C-4q$ 生成的双边理想对 $U(\mathfrak{s})$ 的商，$u \rightarrow u^{\bullet}$ 表示规范的映射 $U(\mathfrak{s})\rightarrow B_q$。考虑 Exerc 的表示。 12 和 13 为 $B_q$ 的表示。

a) $B_q$中的每个元素都可以用形式唯一表示

其中 $p_r$ 和 $q_s$ 是多项式。如果$B_q$生成中的两个元素同一个左理想，则它们成比例。 b) 考虑 Exerc 的情况 b)。 13. 令$a$为$S_{v,q}$的非零元素。若$a$是$\rho_{v,q}(H)$的特征向量，特征值$\lambda$，$B_q$中$a$的湮没子就是$H^{\bullet}-\lambda$生成的左理想；如果$a$不是$\rho_{v,q}(H)$的特征向量，则其湮没子是非单基因左理想。

c) 考虑 Exerc 表示 $\rho^{\pm}_{v,q}$ 的情况。 13. 如果$a$是此类表示的空间的非零元素，则$B_q$中的湮没子是非单基因左理想。

d) 考虑 Exerc 的表示 $\rho_q$。 12. $B_q$中$e_0$的湮没子由$X_+^{\bullet}-1$生成。如果$a\in W$与$e_0$不成比例，则其湮没子是非单基因左理想。

e) $\mathfrak{s}$ 扩展中的每自同构到 $U(\mathfrak{s})$ 和定义，通过计算自同构与 $B_q$ 的商；令$A'$为如此得到的A = Aut(B$_q$)的子群。显示$A'\not= A$。 （令$\varphi$为$B_q$的自同态$x \rightarrow [X_+^{\bullet 2}, x]$；这个自同构局部幂零，而$e^{\varphi}\in A, e^{\varphi}\notin A'.$）

f) 群 A 在$B_q$简单表示类集合上按结构迁移进行操作。令 $\pi_1$（或 $\pi_2, \pi_3$）为 Exerc 的型 $\rho_{v,q}$ 中的表示。 $13b)$（分别为练习 13 的型 $\rho^{\pm}_{v,q}$，分别为练习 12 的型 $\rho_q$）。那么$A\pi_1,A\pi_2$和$A\pi_3$是成对的不相交的。 （使用$a$）$,b),c),d).)$ 如果$\psi \in A$使得$\psi \pi_1$是Exerc的型$\rho_{v,q}$。 $13b)$，然后$\psi \in A'$（使用$a$）和$b))$。推出，如果$\psi$是e)的自同构$e^{\varphi}$，则表示$\sigma =\pi_1\circ \psi$有以下性质：对于所有$x\in \mathfrak{s}$--$\{0\},\sigma (x)$没有特征值。$^8$