习题 17, § 1

我们保留前面的习题的记号。证明，对于所有 $n\geq 1$，代数 $U(\mathfrak{g})$ 具有唯一的两侧理想 $\mathfrak{m}_n$，使得 $U(\mathfrak{g})/\mathfrak{m}_n$ 是维数 $n^2$ 的中心单代数（对于以下情况，扩展标量到约化） $\mathfrak{g}=\mathfrak{s}$ 并证明 $\mathfrak{m}_n$ 则为同态 $U(\mathfrak{g})\rightarrow$ End(V($n-1$))) 的核。 有限余维的$U(\mathfrak{g})$的每个双面理想都是形式$\mathfrak{m}_{n_1}\cap \mathfrak{m}_{n_2}\cap \cdots \cap \mathfrak{m}_{n_h}$，其中$n_1, . . . , n_h$不同；它的余维是$n^2_1+\cdots +n^2_h$（应用稠密性定理）。 $\mathfrak{m}_n$ 是 $U(\mathfrak{g})$ 和有限余维的唯一最大双面理想。

证明 $\mathfrak{m}_2$ 是由元素 $x^2-\frac{1}{8}\Phi (x, x) (x\in \mathfrak{g})$ 生成的（作为双边理想），并且商 $U(\mathfrak{g})/\mathfrak{m}_2$ 可以用 Exerc 的四元数代数 A 来识别。 16.

当$\mathfrak{g}$同构于$\mathfrak{s}, U(\mathfrak{g})/\mathfrak{m}_n$时，$\mathbf{M}_n(k)$同构的。证明，当 $\mathfrak{g}$ 不与 $\mathfrak{s}, U(\mathfrak{g})/\mathfrak{m}_n$ 同构时，当且仅当 $n$ 是奇数时，与 $\mathbf{M}_n(k)$ 同构的（使用 Exerc. $16g$）$).^9$

$^9$ 可以证明，当$n$为偶数时，$U(\mathfrak{g})/\mathfrak{m}_n$与$\mathbf{M}_{n/2}(A)$同构的。