习题 4, § 1

设$\mathfrak{g}$为李代数。如果$A\mathfrak{g}$-模块 E 是有限维$\mathfrak{g}$-子模块的并，则称其为局部有限；等价地，有限型的 E 的每个$\mathfrak{g}$子模（作为$U(\mathfrak{g}$）-模）都是有限维的。

a) 令 $0\rightarrow E'\rightarrow E\rightarrow E''\rightarrow 0$ 为 $\mathfrak{g}$ 个模块中的正合序列。证明，如果$E'$和$E''$是局部有限的，那么E也是局部有限的（约化对于E是有限型的情况，并使用$U(\mathfrak{g})$是诺特，cf.第I, §2, no. 6这一事实）。

b) 假设$\mathfrak{g}$为半单。证明 E 是局部有限的当且仅当 E 是有限维简单 $\mathfrak{g}$ 模的直和。

c) 假设$\mathfrak{g}=\mathfrak{s}$。证明 E 是局部有限的当且仅当满足以下条件 ：

$c_1) E$ 有基由……组成 H 的特征向量，

$c_2)$ 自同态 $X_{+E}$ 和 $X_{-E}$ 局部幂零。

（首先证明，如果E满足$c_1$）和$c_2)$，且不减至0，则包含是整数权$m\geq 0$的原语元素$e$；接下来证明 $X^{m+1}e= 0$，从而证明 E 包含 $V(m)$。 结论由应用 a) 到 E 的最大的局部有限子模 $E'$。)