习题 9, § 1

考虑$\mathfrak{s}$的运算，通过伴随表示，在其包络代数$U$及其对称代数$\mathbf{S}=\bigoplus S^n$上。

a) $\mathfrak{s}$-模块$\mathbf{S}^n$的确定权。推导出以下 $\mathfrak{s}$ 模块中的同构：

特别是，如果 $n$ 是偶数（或奇数），则 $\mathbf{S}^n$ 的元素在维数 $1$（或 $0$）的 $\mathfrak{s}$ 形式空间下不变。

b) 证明$\mathfrak{s}$下的元素不变量的$\mathbf{S}$由……组成的子代数是多项式代数$k[\Gamma]$，其中$\Gamma=H^2-4X_-X_+$。 模 $\mathbf{S}^n/\Gamma.\mathbf{S}^{n-2}$ 与 $V(2n)$ 同构的。

c) 证明$U$的中心是多项式代数$k[C]$，其中$C$是Exerc中定义的元素。 1（使用$b$）和庞加莱-伯克霍夫-维特定理）。