习题 19, § 13

令 V 为有限维向量空间和 $E = V\oplus V^*$。 E 上的定义非简并双线性形式 $\Phi$

将 $N =\bigwedge(V)$ 和 $Q(x) =\frac{1}{2}\Phi (x, x)$ 替换为 $x\in E$。用 $\lambda : C(Q)\rightarrow$ End(N) 表示旋量表示，如 no. 2.IV，定义 $f:\mathfrak{o}(\Phi )\rightarrow C^+(Q)$，如 no. 2 的引理 1，并用 $\rho$ 线性表示 $\lambda \circ f$ 表示N 上代数 $\mathfrak{o}(\Phi )$。

a) 通过公式 $\widetilde{u}(x, x^*) = (u(x),-^tu(x^*))$ 与 E 的 V 自同态 $\widetilde{u}$ 中的任意自同态 $u$ 关联。证明从$\mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)$到$\mathfrak{o}(\Phi )$，$u \rightarrow \widetilde{u}$是李代数的同态；此外，对于$\mathfrak{g}\mathfrak{l}$(V)中的$u$，$\rho (\widetilde{u})$是代数$\bigwedge(V) = N$唯一的推导，即重合与V上的$u$。

b) 令$\Psi$为V和$\gamma : V\rightarrow V^*$同构上的非简并交错的双线性形式，由$\Psi (x, y) =\langle x, \gamma (y)\rangle$为V中的$x, y$定义。证明 E 的自同态 $\widetilde{X}_+$ 和 $\widetilde{X}_-$ 定义为

属于至$\mathfrak{o}(\Phi )$。输入$\widetilde{H}= (-1\widetilde{)}$。证明 $( \widetilde{H},\widetilde{X}_+,\widetilde{X}_-)$ 是李代数 $\mathfrak{o}(\Phi )$ 中的 $\mathfrak{s}\mathfrak{l}_2$ 三元组。

c) 证明在no. 3.IV中，$\rho$取$\mathfrak{o}(\Phi )$到自同态的自同态$\widetilde{H},\widetilde{X}_+,\widetilde{X}_-$，分别由$H, X_+$和$X_-$表示。推断$(H, X_+, X_-)$是李代数$\mathfrak{g}\mathfrak{l}(N)$中的$\mathfrak{s}\mathfrak{l}_2$三元组。