习题 9, § 2

令 G 为连通的有限维实李群。令$\mathfrak{g}$为其李代数，并令$\{x_1, . . . , x_n\}$为$\mathfrak{g}$的生成的族。对于$m\geq 0$，用exp(2$^{-m}x_i$)$, 1\leq i\leq n$生成的G的$\Gamma_m$子群表示。我们有$\Gamma_0\subset \Gamma_1\subset \cdots$。

a) 证明$\Gamma_m$的并在G中是稠密的。

b) 设$H_m$为$\Gamma_m$的闭包$\overline{\Gamma}_m$的恒等分量。我们有$H_0\subset H_1\subset \cdots$，一家人$(H_m)$是静止的；令 H 为 $m$ 足够大的 $H_m$ 的公共的值。证明 H 在 G 中是正规的（观察 H 由所有 $\Gamma_m$ 归一化），并且$G/H$ 中$\Gamma_m$ 的像是$G/H$ 的离散子群。其中子群中的并在 $G/H$ 中稠密，推论出（cf. 第 III, §6 章，练习 $23d$）$)$ $G/H$ 幂零的。

c) 假设$\mathfrak{g}=\mathscr{D}\mathfrak{g}$。证明G = H，在其他字中，如果$m$是足够大，则$\Gamma_m$在G中是稠密的。