习题 9, § 5

令 R 为约化根系，R 的 B 基，且 $(\mathfrak{g}_0,\mathfrak{h}_0,B,(X_{\alpha})_{\alpha\in B})$ 相应的为半单李代数 (§4)。令$\overline{k}$为$k$的代数闭包，且$\rho :$ Gal($\overline{k}/k$)$\rightarrow$ Aut(R$,B$)连续同态 (cf.练习8)；如果$\sigma \in$ Gal($\overline{k}/k$)，则用$\rho_{\sigma}$表示$\overline{\mathfrak{g}}_0= \overline{k}\otimes_k\mathfrak{g}_0$的$k$线性自同构，使得$\rho_{\sigma}(X_{\alpha}) =X_{\rho(\sigma)\alpha}$。另一方面，Gal($\overline{k}/k$)在$\overline{k}$上的自然运算可以扩展到$\overline{\mathfrak{g}}_0$上的运算。令$\mathfrak{g}$为$\overline{\mathfrak{g}}_0$由……组成或元素$x$的子集，使得$\rho_{\sigma}(x) =\sigma^{-1}.x$对于所有$\sigma \in$Gal($\overline{k}/k$)。

a) 证明$\mathfrak{g}$是$\overline{\mathfrak{g}}_0$的$k$-谎言子代数，并且将$\mathfrak{g}$的单射转化为$\overline{\mathfrak{g}}_0$扩展到同构，从$\overline{k}\otimes_k\mathfrak{g}$到同构 $\overline{\mathfrak{g}}_0$。特别地，$\mathfrak{g}$是半单。

b) 令$\mathfrak{b}_0$为由$\mathfrak{h}_0$和$X_{\alpha}$生成的$\mathfrak{g}_0$的子代数。放

证明$\overline{k}\otimes_k\mathfrak{b}= \overline{\mathfrak{b}}_0$和$\overline{k}\otimes_k\mathfrak{h}= \overline{\mathfrak{h}}_0$，从而$\mathfrak{b}$是$\mathfrak{g}$的博雷尔子代数，$\mathfrak{h}$是其中包含的嘉当子代数。

$^{12}$有关习题的更多详细信息，请参阅：B. KOSTANT，主要三维子群和复杂简单李群的贝蒂数，

阿米尔。 J.数学，卷。 LXXXI（1959），第 973-1032 页。 c) 证明与代数 $\mathfrak{g}$ (cf. 练习 8) 相关的同态 $\pi$ 等于 $\rho$。