习题 11, § 7

记号是no. 7 的那些。对于任何整数$m\geq 1$，用$\mathbf{Z}[\Delta ]$的$\Psi^m$自同态表示，需要$e^{\lambda}$到$e^{m\lambda}$。我们有 $\Psi^1=$ Id 和 $\Psi^m\circ \Psi^n=\Psi^{mn}$。

令 E 为有限维 $\Delta$ 分级向量空间。对于所有$n\geq 0$，用$a_nE$（或$s_nE$）表示E的第$n$外部（或对称）幂，配备其自然分级。

a) 表明

$n$ ch($s_nE$) $=\sum_{m=1}^n\Psi^m$(ch(E))ch($s_{n-m}E$)

和

$n$ ch($a_nE$) $=\sum_{m=1}^n(-1)^{m-1}\Psi^m$(ch(E))ch($a_{n-m}E$)。

推论ch($s_nE$)和ch($a_nE$)可以表示为$\Psi^m$(ch(E))、$1\leq m\leq n$中具有有理系数的多项式。对于例：

ch($s_2E$) $=\frac{1}{2}$ ch(E)$^2+\frac{1}{2}\Psi^2$(ch(E))

ch($a_2E$) $=\frac{1}{2}$ ch(E)$^2-\frac{1}{2}\Psi^2$(ch(E))。

b) 证明以下恒等式（在变量T中形式幂级数的代数中，系数在$\mathbf{Q}[\Delta ]$中）$:$

$\sum_{n=0}^{\infty}$ ch($s_nE$)$T^n=$ 经验$\{\sum_{m=1}^{\infty}\Psi^m$(ch(E))T$^m/m\}$

和

$\sum_{n=0}^{\infty}$ch($a_nE$)$T^n=$exp$\{\sum_{m=1}^{\infty}(-1)^{m-1}\Psi^m$(ch(E))T$^m/m\}$。

c) 假设$\Delta$为群，则可以为所有$m\in \mathbf{Z}$定义$\Psi^m$。证明，如果 $E^*$ 是 E 的分级对偶，

ch($E^*$)$=\Psi^{-1}$(ch(E))。

d) 认同 $R(\mathfrak{g})$，通过 ch，其中子环为 $\mathbf{Z}[P]$。证明$R(\mathfrak{g})$在$\Psi^m,m\in \mathbf{Z}$下是稳定的，并且前面习题中定义的子环$R_{\Gamma}(\mathfrak{g})$也是稳定的。