习题 17, § 7

令$\lambda , \mu\in P_{++}$和$\alpha \in B$满足$\lambda (H_{\alpha})\geq 1$和$\mu(H_{\alpha})\geq 1$。让$F = E(\lambda )\otimes E(\mu)$。

a) 显示暗淡$F^{\lambda+\mu}= 1$和暗淡$F^{\lambda+\mu-\alpha}= 2$。

b) 证明$X_{\alpha}: F^{\lambda+\mu-\alpha}\rightarrow F^{\lambda+\mu}$是满射，并且核的非零元素是本原的（注，如果$\beta \in B$不同于$\alpha$，则$\lambda +\mu-\alpha +\beta$不是F的权）。

c) 推导出$E(\lambda )\otimes E(\mu)$包含唯一的子模同构于

d) 证明$\mathbf{S}^2(E(\lambda ))$（或$\bigwedge^2E(\lambda )$）包含与$E(2\lambda )$（或$E(2\lambda -\alpha )$）同构的唯一子模。