习题 18, § 7

选择 W 下 $\mathfrak{h}^*_{\mathbf{R}}$ 不变量上的正非简并对称双线性形式 $(\cdot | \cdot )$。设 $\lambda \in P_{++}$。

a) 设$\mu$为$E(\lambda )$的权。将$\lambda -\mu$写入形式$\sum_{\alpha\in B}k_{\alpha}\alpha$。令 $\alpha \in B$ 为

这样$k_{\alpha}\not= 0$。证明存在$\alpha_1, . . . , \alpha_n\in B$使得$(\lambda |\alpha_1)\not= 0$，$(\alpha_1|\alpha_2)\not= 0, . . . ,(\alpha_{n-1}|\alpha_n)\not= 0,(\alpha_n|\alpha )\not= 0$。

b) 令$v$为$E(\lambda )$的原语元素，并令$\alpha_1, . . . , \alpha_n\in B$满足为以下条件：

(i) $(\alpha_i|\alpha_{i+1})\not= 0$ 为 $i= 1,2, . . . , n-1$；

(ii) $(\alpha_i|\alpha_j) = 0$ 为 $j > i+ 1$；

(iii)$\lambda (H_{\alpha_1})\not= 0$和$\lambda (H_{\alpha_2}) =\cdots =\lambda (H_{\alpha_n}) = 0$。

显示$X_{-\alpha_n}X_{-\alpha_{n-1}}. . . X_{-\alpha_1}v\not= 0$。 （观察一下，对于 $1\leq s\leq n$，

不是$E(\lambda )$的权，并在$s.)$上通过归纳推出$X_{\alpha_s}X_{-\alpha_s}X_{-\alpha_{s-1}}. . . X_{-\alpha_1}v\not= 0$ 如果$\sigma \in \mathfrak{S}_n$和$\sigma \not= 1$，则$X_{-\alpha_{\sigma(n)}}X_{-\alpha_{\sigma(n-1)}}. . . X_{-\alpha_{\sigma(1)}}v= 0$。 （令$r$为最小的整数，使得$\sigma (r)\not=r$。使用$a$）来证明$\lambda -\alpha_{\sigma(1)}-. . .-\alpha_{\sigma(r)}$不是$E(\lambda ).)$的权

c) 设 $\lambda '\in P_{++}$。连接$\lambda$到$\lambda '$的链是B的元素的序列$(\alpha_1, . . . , \alpha_n)$，使得$n\geq 1, (\lambda |\alpha_1)\not= 0,(\alpha_1|\alpha_2)\not= 0, . . . ,(\alpha_{n-1}|\alpha_n)\not= 0$，$(\alpha_n|\lambda ')\not= 0$。如果$(\alpha_1, . . . , \alpha_n)$没有严格子序列连接$\lambda$到$\lambda '$，这样的链被称为最小链。在这种情况下，如果$|i-j| \geq 2$，我们有$(\alpha_i|\alpha_j) = 0$，如果$i\geq 2$，我们有$(\lambda |\alpha_i) = 0$，如果$i\leq n-1$，我们有$(\lambda '|\alpha_i) = 0$。

d) 令 $(\alpha_1, . . . , \alpha_n)$ 为连接 $\lambda$ 到 $\lambda '$ 的最小链。如果$v'$是$E(\lambda ')$中的原语向量，则输入：

$a_0= (\lambda |\alpha_1), a_n= (-1)^n(\lambda '|\alpha_n), a_s= (-1)^{s+1}(\alpha_s|\alpha_{s+1}), 1\leq s\leq n-1$。表明

是权$\lambda +\lambda '-\alpha_1- \cdots -\alpha_n$的$E(\lambda )\otimes E(\lambda ')$的原始元素，并且直到位似都是唯一的。

（使用$b$）和c）表明权的$E(\lambda )\otimes E(\lambda ')$的每个元素

是$v_s\otimes v'_s$的线性组合。然后写下条件，这样线性组合是一个原始向量。）

推导出 $E(\lambda )\otimes E(\lambda ')$ 包含一个唯一的 $\mathfrak{g}$ 子模块同构于

（当 $n= 1$ 时，我们恢复练习 17。）

e) 令 $w$ 为 $E(\lambda )\otimes E(\lambda ')$ 的原语元素。假设$w$的权$\nu$与$\lambda +\lambda '$不同。证明存在一条链 $(\alpha_1, . . . , \alpha_n)$ 连接 $\lambda$ 到 $\lambda '$ 使得

（令C为$\alpha \in B$的集合，使得$\lambda +\lambda '-\nu$的指标$\alpha$的坐标为$\not= 0$。 设 D（分别为 $D'$）为 $\alpha \in C$ 的集合，使得存在 $\gamma_1, . . . , \gamma_t\in C$ 满足 $(\lambda |\gamma_1)\not= 0$（分别为 $(\lambda '|\gamma_1)\not= 0$）$, (\gamma_1|\gamma_2)\not= 0, . . . ,(\gamma_{t-1}|\gamma_t)\not= 0$、$(\gamma_t|\alpha )\not= 0$。 Let Y (resp. $Y'$) be the set of weights of $E(\lambda )$ (resp. $E(\lambda ')$) of the form $\lambda -\sum_{\alpha\in C}k_{\alpha}\alpha$ (resp. $\lambda '-\sum_{\alpha\in C}k_{\alpha}\alpha$ ), with $k_{\alpha}\in \mathbf{N}$. 证明 $w$ 属于到 $((\sum_{\mu\in Y}E(\lambda )^\mu)\otimes ((\sum_{\mu'\in Y'}E(\lambda ')^{\mu'})$。 使用 a) 以及 $\nu \not=\lambda +\lambda '$ 的事实，

表明 $D\cap D'\not=\emptyset .)$

f) 显示以下属性的等价：

(i) $E(\lambda )\otimes E(\lambda ')$ 与 $E(\lambda +\lambda ')$ 同构的。

(ii) $E(\lambda )\otimes E(\lambda ')$ 是单模。

(iii) 没有链连接$\lambda$到$\lambda '$。

(iv) R 是两个根系、$R_1$和$R'_1$的直和，使得$\lambda \in P(R_1)$和$\lambda '\in P(R'_1)$。

(v) $\mathfrak{g}$是两个理想$\mathfrak{s}$和$\mathfrak{s}'$的乘积，使得$\mathfrak{s}'.E(\lambda ) = 0$和$\mathfrak{s}.E(\lambda ') = 0$。

（用$d$）证明（ii）和（iii）的等价。）$^{15}$