习题 25, § 7

设 $\mathfrak{a}$ 为李代数，U 为代数。应用定义和 Exerc 的结果。 24到代数U。特别是，$U'\subset U^*$和$U'$的对偶可以用代数$\widehat{U} =$lim$_{\leftarrow -}U/\mathfrak{m}$来识别；规范的映射 $U\rightarrow \widehat{U}$ 是单射的（第 I, §7 章，练习 3）。

a) U 的余代数结构（第 II, §1, no. 4 章）定义代数结构在对偶 $U^*$（cf. 第 II, §1, no. 5 章，第 10 章，和代数，第 III, §11, no. 2 章）。如果 $E,F$ 是有限维 $\mathfrak{a}$ 模，

$\theta_{a,b}\circ \theta_{c,d}=\theta_{a\otimes c,b\otimes d}$ 为 $a\in E, b\in E^*, c\in F, d\in F^*$。

推断$U'$是$U^*$的子代数。 $U'$ 的余代数和代数结构使其成为可交换的大代数（代数，第 III, §11, no. 4 章）。

b) 设$x$为$\widehat{U}$的元素； 认同$x$与线性形式$U'\rightarrow k$。证明等价以下性质：

(i) $x$是从$U'$到$k$的代数中的同态。

(ii) $x_{E\otimes F}=x_E\otimes x_F$ 对于所有有限维$\mathfrak{a}$-模块 E 和 F。

（首先证明 (ii) 等价于

(ii$'$)$x(\theta_{a\otimes c,b\otimes d}) =x(\theta_{a,b})x(\theta_{c,d})$ 如果 $a\in E, b\in E^*, c\in F, d\in F^*$,

并利用 $\theta_{a,b}$ 生成 $U'.)$

c) 设$x$为b)的$\widehat{U}$满足条件(i)和(ii)中的元素。显示以下条件中的等价：

(iii) $x$取$U'$的单位元到$k$的单位元。

（四）$x\not= 0$。

(v) 如果 $k$ 被赋予简单的 $\mathfrak{a}$ 模块结构，我们就有 $x_k=$ Id。

(vi) $x_E$ 对于所有 E 都是可逆的。

(等价(iii)$\Leftarrow \Rightarrow$(iv)源自$x$是代数的同态。 另一方面，$x_k=\lambda$ Id，与$\lambda \in k$。 使用 $\mathfrak{a}$ 同构 $k\otimes E\rightarrow E$，推导出所有 E 的 $\lambda x_E=x_E$，特别是通过取 $E =k$ 推导出 $\lambda^2=\lambda$。 情况 $\lambda = 1$ 对应到 $x\not= 0$，因此 (iv) $\Leftarrow \Rightarrow$ (v) 和 (vi) $=\Rightarrow$ (v)。 证明 (v) $=\Rightarrow$ (vi)，证明如果 F 是 E 的对偶，则 $^tx_F\circ x_E=\lambda$ Id$_E.$)

d) 令G为上述(i)至(vi)中的$\widehat{U}$满足条件中的元素中的集合。证明G是$\widehat{U}$可逆元群子群。

让$x\in G$。如果 E 是有限维 $\mathfrak{a}$ 模，则 $x_E\in \mathbf{G}\mathbf{L}(E)$。这尤其适用于配备伴随表示的 $E =\mathfrak{a}$；这给出了元素 $x_{\mathfrak{a}}\in \mathbf{G}\mathbf{L}(\mathfrak{a})$。证明$x_{\mathfrak{a}}$是$\mathfrak{a}$的自同构（使用括号给出的$\mathfrak{a}$同态$\mathfrak{a}\otimes \mathfrak{a}\rightarrow \mathfrak{a}$）。这给出同态 $v: G\rightarrow$ Aut($\mathfrak{a}$)。如果 E 是有限维 $\mathfrak{a}$ 模，

$x_E(y.e) =v(x)(y).x_E(e)$ 如果$y\in \mathfrak{a}, e\in E$

（使用 E 上 $\mathfrak{a}$ 的运算给出的 $\mathfrak{a}$ 同态 $\mathfrak{a}\otimes E\rightarrow E$）。

e) U 扩展的主要反自同构 $\sigma$ 通过连续到$\widehat{U}$。它的转置使$U'$稳定，而诱导在$U'($代数上反转，第1章。 III, §11，锻炼。 4).如果$x\in G$，则$\sigma (x) =x^{-1}$。

f) 假设$\mathfrak{a}$为半单$^{16}$。令 $n$ 为 $\mathfrak{a}$ 的幂零元。那么 G 存在唯一元素 $e^n$，使得对于每个有限维 $\mathfrak{a}$-模 E 都有 $(e^n)_E=$ exp($n_E$)。我们有 $v(e^n) =$ exp(ad $n$)$\in$ Aut($\mathfrak{a}$)，所以自动$_e(\mathfrak{a})\subset v(G)$。

表明，如果 $\mathfrak{b}$ 是幂零元 $\mathfrak{a}$ 由……组成子代数，则

$e^n.e^m=e^{H(n,m)}$ 换$n, m\in \mathfrak{b}$，

其中 H 表示 Hausdorff 级数（第 II, §6 章）。