Bourbaki

习题 13, § 8

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李群与李代数, VIII, 252

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

a) 设a\mathfrak{a}为幂零李代数，x∈a,n∈N,p∈Nx\in \mathfrak{a}, n\in \mathbf{N}, p\in \mathbf{N}。存在l∈Nl\in \mathbf{N}，使得xly1...yn∈U(a)xpx^ly_1. . . y_n\in U(\mathfrak{a})x^p对于所有y1,...,yn∈ay_1, . . . , y_n\in \mathfrak{a}。

b) 设 λ,μ∈h∗\lambda , \mu\in \mathfrak{h}^* 和 α∈B\alpha \in B 使得

Z(sαμ−ρ)⊂Z(μ−ρ)⊂Z(λ−ρ) Z(s_{\alpha}\mu-\rho )\subset Z(\mu-\rho )\subset Z(\lambda -\rho )

假设λ∈P\lambda \in P。让p=λ(Hα)∈Zp=\lambda (H_{\alpha})\in \mathbf{Z}。表明：

b1)b_1) 如果p≤0p\leq 0，则Z(λ−ρ)⊂Z(sαλ−ρ)Z(\lambda -\rho )\subset Z(s_{\alpha}\lambda -\rho )。

b2)b_2) 如果p>0p >0，则Z(sαμ−ρ)⊂Z(sαλ−ρ)⊂Z(λ−ρ)Z(s_{\alpha}\mu-\rho )\subset Z(s_{\alpha}\lambda -\rho )\subset Z(\lambda -\rho )。

（使用aa）和§6，Cor。提案 6 中的 1 条。）

c) 令 λ∈h∗,α∈R\lambda \in \mathfrak{h}^*, \alpha \in R 和 m=λ(Hα)m=\lambda (H_{\alpha})。假设m∈Nm\in \mathbf{N}。表明

Z(sαλ−ρ)⊂Z(λ−ρ) Z(s_{\alpha}\lambda -\rho )\subset Z(\lambda -\rho )

（首先使用 bb 证明λ∈P\lambda \in P），然后在一般情况下使用 Exerc。 12d).)1712d).)^{17}

解答

尚未写出解答。

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