习题 4, § 9

假设$\mathfrak{g}$是简单的，并用$R_+$的$\gamma$元素表示，使得$H_{\gamma}$是$R^{\vee}$的最高根；写$H_{\gamma}=\sum_{\alpha\in B}n_{\alpha}H_{\alpha}$。我们有 $\langle \rho , H_{\gamma}\rangle =$ $\sum n_{\alpha}=h-1$，其中 $h$ 是 R 的 Coxeter 数（第 VI, §1, no. 11 章，第 31 条命题）。

a) 设 $\alpha \in B$。证明，对于所有 $\beta \in R_+$，

如果 $\beta =\gamma$ 则等式成立。推断暗淡 $E(\varpi_{\alpha})$ 的每个素数因子都是 $\leq h+n_{\alpha}-1$。

b) 假设$\varpi_{\alpha}$不是很小的，即$n_{\alpha}\geq 2$。设$m\in 2, n_{\alpha}$和$p=h+m-1$。验证（cf.章VI，板）是否存在$\beta \in R_+$，使得$\langle \varpi_{\alpha}, H_{\beta}\rangle =n_{\alpha}$和$\langle \rho , H_{\beta}\rangle =h-1-(n_{\alpha}-m)$，因此存在$\langle \varpi_{\alpha}+\rho , H_{\beta}\rangle =p$。推断，如果 $p$ 是素数，则 $p$ 除暗淡 $E(\varpi_{\alpha})$。 （注$p$不除任何$\langle \rho , H_{\beta}\rangle$对于$\beta \in R_+$，cf.练习3。）

c) 当$\mathfrak{g}$为型$G_2$（分别为$F_4,E_8$）时，我们有$h= 6$（分别为$12,30$），并且dim $E(\varpi_{\alpha})$可以被7整除（分别为$13,31$），当$\mathfrak{g}$为型 $E_6$（分别为 $E_7$），并且 $\varpi_{\alpha}$ 不是很小的，暗淡的 $E(\varpi_{\alpha})$ 可以被 13（分别为 19）整除。