习题 3, § 1

如果$A$是拓扑空间$X$的任意子集，则令$\alpha(A)$表示$\overline{\dot{A}}$，$\beta(A)$表示$\dot{A}$。那么$A \subset B$蕴含$\alpha(A) \subset \alpha(B)$和$\beta(A) \subset \beta(B)$。

a) 证明如果 $A$ 开，则 $A \subset \alpha(A)$，如果 $A$ 闭，则 $\beta(A) \subset A$。

b) 从a)推导出，如果$A$是$X$中的任意子集，则$\alpha(\alpha(A)) = \alpha(A)$和$\beta(\beta(A)) = \beta(A)$。

c) 给出集合 $A$ （在实直线） 中的例，使得七个集合 $A, \mathring{A}, \overline{A}, \alpha(A), \beta(A), \beta(\overline{A}), \alpha(\mathring{A})$ 全部不同，并且满足没有关系，除了以下内容：$\mathring{A} \subset A \subset \overline{A}, \mathring{A} \subset \alpha(\mathring{A}) \subset \beta(A) \subset \overline{A}, \mathring{A} \subset \alpha(A) \subset \beta(\overline{A}) \subset \overline{A}, \alpha(\mathring{A}) \subset \alpha(A), \beta(A) \subset \beta(\overline{A})$。

d) 证明如果 $U, V$ 是两个开集合，使得 $U \cap V = \varnothing$，则也$\alpha(U) \cap \alpha(V) = \varnothing$ [使用 b)]。